metode iterasi gauss seidel

Metode Iterasi Gauss-Seidel untuk

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

William Huda

                                                                     (08 104 32 040)

    I.          Latar Belakang

Suatu sistem persamaan linier terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linear dalam sejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel yang belum diketahui yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.

Suatu sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan metode langsung atau metode iterasi. Kedua metode tersebut mempunyai kelemahan dan keunggulan. Dalam kasus tertentu, yaitu sistem berukuran besar dengan persentase elemen nol pada matriks koefisien besar, teknik iterasi lebih efisien daripada metode langsung dalam hal penggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear, metode iterasi menggunakan algoritma secara rekursif. Algoritma tersebut dilakukan sampai diperoleh suatu nilai yang konvergen dengan toleransi yang diberikan. Generalisasi titik tetap dapat diterapkan untuk sistem persamaan linier untuk menghasilkan hasil yang akurat.

II.          Pembahasan

II.1  Analisis

Metode Gauss-Seidel  adalah metode yang  digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar dengan menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.. Metode iterasi Gauss-Seidel dikembangkan dari gagasan metode iterasi pada solusi persamaan tak linier.

Bila diketahui persamaan linier simultan:

      (1.1)

Diberikan nilai awal dari setiap x_i (i=1 sampai  n),  kemudian persamaan linier simultan di atas dituliskan menjadi:

      

Dengan menghitung nilai-nilai x_i (i=1 sampai n), menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap x_i (i=1 sampai  n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi(i=1 sampai n) dengan nilai x_i pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang  ditentukan. Dengan demiklan, algortima metode Gauss-Seidel diekspresikan sebagai :

    

II.2  Simulasi dan Penerapan dalam Kasus

a.    Permasalahan Penentuan Produk Berdasarkan Persediaan Bahan

“    Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2. ”

Jawab :

Model Sistem Persamaan Linier Simultan :

Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap:

x₁ adalah jumlah boneka A

x₂ adalah jumlah boneka B

Perhatikan dari pemakaian bahan :

B₁: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80

B₂:  2  bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36

Diperoleh model sistem persamaan linier

10 x₁ + 5 x₂ = 80

  2 x₁ + 6 x₂ = 36

Penyelesaian dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut :

  →  B₁

  →  B₂            SPL dibuat dalam bentuk matriks

 B₁→ B₁/10

B₂→ B₂-2 B₁

B₂→ B₂/5

B₁→ B₁-0.5 B₂

Sehingga, diperoleh x₁ = 6 dan x₂ = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat 6 boneka A dan 4 boneka B.

b.        Permasalahan Aliran Panas pada Plat Baja(menggunakan Microsoft excell)

Diketahui panas beberapa titik pada plat baja yaitu pada sisi luar. Bila ditentukan bahwa aliran panas bergerak secara laminar dan panas pada sebuah titik adalah rata-rata panas dari 4 titik tetangganya, maka dapat dihitung panas pada titik T1 dan T2 sebagai berikut:

                          

Persamaan panas pada titik T1 danT2 dapat dihitung dengan:

Sistem persamaan linier dari permasalahan di atas adalah:

  

Penyelesaian dengan menggunakan iterasi Gauss-Seidel, terlebih dahulu ditentukan Nilai pendekatan awal T₁=0 dan T₂=0 dan fungsi pengubahnya adalah:                  

Diperoleh hasil perhitungan untuk toleransi error 0.0001 sebagai berikut:

      

Jadi,  temperatur pada T₁=23,3333 dan T₂= 43,3333

  III.     Kesimpulan

Berdasarkan penurunan algoritma dan penerapan dalam Kasus dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Algoritma metode Gauss-Seidel adalah

dimana k = 0, 1, 2, ..., dengan nilai pendekatan awal biasanya diambil  .

2. Metode Gauss-Seidell dapat digunakan dalam berbagai kasus, seperti permasalahan penentuan banyak produk berdasarkan persediaan bahan dan permasalahan aliran panas pada plat baja.
3. Penggunaan  metode iterasi Gauss-Seidel galat pembulatannya dapat diperkecil. Hal ini dikarenakan  iterasinya  dapat meneruskan sampai solusinya benar-benar teliti sesuai dengan batas galat yang diperbolehkan.